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Statistik –
Theoretischer Hintergrund

Begleitdokument zur interaktiven Lerneinheit

Fach: Naturwissenschaften

Stufe: Kantonsschule

Umfang: ~1-2 Unterrichtsstunden

Roter Faden: Creme-Bewertungsstudie

Inhalt

Datentypen Nominal · Ordinal · Metrisch
Lageparameter Modalwert · Median · Mittelwert
Streumasse Standardabweichung · Boxplot · IQR
Normalverteilung Glockenkurve · Shapiro-Wilk · Schiefe
Signifikanz & Statistische Tests p-Wert · t-Test · Mann-Whitney · Chi²
Vertrauensintervall Konfidenzintervall · Standardfehler
Formelsammlung Schnellübersicht

1 · Datentypen

Bevor wir irgendetwas berechnen können, müssen wir wissen, welcher Typ von Daten vorliegt. Der Datentyp legt fest, welche statistischen Operationen erlaubt sind.

1.1 Nominale Daten NOMINAL

Definition Nominale Daten sind Kategorien ohne jede sinnvolle Reihenfolge. Man kann sie benennen und zählen – das ist alles.

Beispiele: Blutgruppe (A, B, AB, 0) · Augenfarbe · Lieblingsfarbe · Wohnort · Geschlecht

Erlaubte Operationen: Zählen der Häufigkeiten (absolute und relative Häufigkeiten)

Nicht erlaubt: Rangordnung, Berechnung von Mittelwert oder Median, Abstände

Creme-Beispiel (nominal) 20 Testpersonen werden gefragt: «Welche Creme gefällt euch am besten?» Ergebnis: Creme 1 (12×), Creme 3 (5×), Creme 2 (2×), Creme 4 (1×). Diese Angaben sind nominal – man darf nur zählen. Creme 1 «gewinnt», weil sie am häufigsten genannt wird.

1.2 Ordinale Daten ORDINAL

Definition Ordinale Daten haben eine sinnvolle Reihenfolge (Rangordnung). Die Abstände zwischen den Kategorien sind jedoch nicht gleich gross oder definierbar.

Beispiele: Schulnoten (1–6) · Bewertungsskalen (1–9) · T-Shirt-Grössen (S, M, L, XL) · Platzierungen

Erlaubte Operationen: Zählen, Rangordnung, Modalwert, Median

Nicht erlaubt: Differenzen bilden, Mittelwert (streng genommen)

Creme-Beispiel (ordinal) Die Bewertungen der Cremes auf einer Skala 1–9 sind ordinal. «7 ist besser als 4» stimmt. Ob aber die Steigerung von 4 auf 7 «gleich gross» ist wie von 6 auf 9 – das wissen wir nicht. Deshalb ist die Standardabweichung für ordinale Daten streng genommen nicht erlaubt (in der Praxis aber oft berechnet und deklariert).

1.3 Metrische Daten METRISCH

Definition Metrische Daten sind «echte» Zahlen, bei denen alle Abstände definiert und gleich sind. Man darf mit ihnen frei rechnen.

Beispiele: Körpergrösse (cm) · Temperatur (°C) · Zeit (s) · Volumen (ml) · pH-Wert

Erlaubte Operationen: Alle – Zählen, Rangordnung, Median, Mittelwert, Standardabweichung, Verhältnisse

Creme-Beispiel (metrisch) Man lässt eine Creme 30 Sekunden einwirken und misst das Volumen des entstandenen Schaums (ml). Creme A: 45 ml, Creme B: 28 ml. Der Unterschied 45 − 28 = 17 ml ist exakt definiert – diese Messung ist metrisch.

1.4 Übersicht

Eigenschaft	Nominal	Ordinal	Metrisch
Kategorien benennbar	✓	✓	✓
Rangordnung möglich	✗	✓	✓
Abstände gleich gross	✗	✗	✓
Rechnen erlaubt	✗	✗	✓
Modalwert erlaubt	✓	✓	✓
Median erlaubt	✗	✓	✓
Mittelwert erlaubt	✗	✗*	✓
Standardabweichung erlaubt	✗	✗*	✓

* In der Forschungspraxis wird bei Likert-Skalen (z.B. 1–7) oft trotzdem Mittelwert und SD berechnet und angegeben. Dies ist diskutiert und sollte im Methodenteil erwähnt werden.

2 · Lageparameter

Lageparameter (auch: Lagemasse) sind Kennzahlen, die die «Lage» oder «Mitte» einer Datenmenge beschreiben. Sie fassen viele Zahlen zu einer einzigen zusammen.

2.1 Modalwert (Modus)

Definition Der Modalwert ist der Wert, der in einem Datensatz am häufigsten vorkommt.

Beispiel: Datensatz: 2, 4, 6, 6, 8, 8, 8
Häufigkeiten: 2→1×, 4→1×, 6→2×, 8→3× ← Modalwert = 8

Vorteile: Kein Rechnen nötig, funktioniert bei allen Datentypen (auch nominal), nicht empfindlich gegenüber Ausreissern.

Nachteile: Es kann mehrere Modi geben (bimodale Verteilung). Sagt nichts über andere Werte aus.

2.2 Median

Definition Der Median ist der Wert, der genau in der Mitte liegt, wenn alle Werte der Grösse nach sortiert werden. 50% der Werte liegen darunter, 50% darüber.

Berechnung bei ungerader Anzahl n:

Position des Medians = (n + 1) / 2

Berechnung bei gerader Anzahl n: Durchschnitt der beiden mittleren Werte:

Median = (Wert an Position n/2 + Wert an Position n/2 + 1) / 2

Beispiel n = 7 (ungerade):
Unsortiert: 7, 3, 9, 5, 6, 4, 8
Sortiert: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → Position 4 → Median = 6

Beispiel n = 8 (gerade):
Sortiert: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → Median = (6+7)/2 = 6.5

Stärke: Der Median ist robust gegenüber Ausreissern. Ein extrem grosser oder kleiner Wert verändert den Median kaum.

In Excel: =MEDIAN(Bereich)

2.3 Mittelwert (Arithmetisches Mittel)

Definition Der Mittelwert ist die Summe aller Werte, dividiert durch die Anzahl der Werte.

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n = (Σxᵢ) / n

Beispiel: Werte: 2, 4, 6, 6, 8, 8, 8
x̄ = (2+4+6+6+8+8+8) / 7 = 42 / 7 = 6.0

Stärke: Nutzt alle Informationen im Datensatz, mathematisch genau definiert, Grundlage für viele statistische Tests.

Schwäche: Empfindlich gegenüber Ausreissern – ein extrem hoher oder tiefer Wert zieht den Mittelwert stark in seine Richtung (Bill-Gates-Effekt).

In Excel: =AVERAGE(Bereich)

2.4 Wann welchen Lageparameter verwenden?

Datentyp	Empfohlener Lageparameter	Begründung
Nominal	Modalwert	Einzige sinnvolle Option
Ordinal	Modalwert, Median	Keine echten Abstände → Mittelwert problematisch
Metrisch ohne Ausreisser	Mittelwert	Nutzt alle Informationen
Metrisch mit Ausreissern	Median	Robust gegenüber Extremwerten

3 · Streumasse

Streumasse (auch: Dispersionsmasse) beschreiben, wie weit die Werte eines Datensatzes verteilt (gestreut) sind. Zwei Datensätze können denselben Mittelwert haben, sich aber in ihrer Streuung stark unterscheiden.

3.1 Standardabweichung (SD)

Definition Die Standardabweichung gibt an, wie weit die Messwerte im Durchschnitt vom Mittelwert entfernt sind.

Berechnung (Stichprobe):

s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]

Man teilt durch (n − 1) statt n, weil wir eine Stichprobe analysieren (sog. Bessel'sche Korrektur). In Excel: =STDEV(Bereich)

Berechnung Schritt für Schritt (Datensatz: 2, 4, 6, 6, 8, 8, 8; x̄ = 6):

Wert (x)	x − x̄	(x − x̄)²
2	−4	16
4	−2	4
6	0	0
6	0	0
8	+2	4
8	+2	4
8	+2	4
Summe der Quadrate		32

Varianz = 32 / (7−1) = 5.33 → SD = √5.33 ≈ 2.31

Interpretation: SD ≈ 2.31 bedeutet, dass die einzelnen Werte im Durchschnitt ca. 2.31 Einheiten vom Mittelwert entfernt sind. Eine kleine SD = einheitliche Daten; eine grosse SD = stark streuende Daten.

3.2 Varianz

Definition Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung: s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)

Die Varianz wird seltener direkt interpretiert (andere Masseinheit: Einheit²). Sie ist mathematisch wichtig als Grundlage für viele Berechnungen. In Excel: =VAR(Bereich)

3.3 Boxplot und Quartile

Definition Ein Boxplot fasst eine Verteilung mit fünf Kennzahlen zusammen: Minimum, Q1, Median (Q2), Q3, Maximum.

Quartile:

Q1 (25. Perzentil): 25% der Werte liegen darunter, 75% darüber.
Q2 = Median (50. Perzentil): 50% darunter, 50% darüber.
Q3 (75. Perzentil): 75% der Werte liegen darunter, 25% darüber.

IQR (Interquartilsabstand): IQR = Q3 − Q1. Gibt die Breite der mittleren 50% der Daten an.

Ausreisser-Definition: Werte < Q1 − 1.5 × IQR oder > Q3 + 1.5 × IQR gelten als statistische Ausreisser und werden im Boxplot als separate Punkte dargestellt.

In Excel: =QUARTILE(Bereich; 1) für Q1, =QUARTILE(Bereich; 3) für Q3

4 · Normalverteilung

4.1 Die Gauss'sche Glockenkurve

Definition Eine Normalverteilung (Gauss-Verteilung) ist eine symmetrische, glockenförmige Häufigkeitsverteilung. Die meisten Werte liegen in der Nähe des Mittelwerts; je weiter man sich vom Mittelwert entfernt, desto seltener werden die Werte.

Sie wird vollständig durch zwei Parameter beschrieben: Mittelwert (μ) und Standardabweichung (σ).

4.2 Die 68-95-99.7-Regel (Empirische Regel)

Bei einer Normalverteilung gilt:

68% aller Werte liegen im Bereich μ ± 1σ
95% aller Werte liegen im Bereich μ ± 2σ
99.7% aller Werte liegen im Bereich μ ± 3σ

Beispiel Körpergrösse: Mittelwert μ = 170 cm, SD σ = 10 cm
→ 68% der Personen haben eine Grösse zwischen 160 cm und 180 cm
→ 95% zwischen 150 cm und 190 cm
→ 99.7% zwischen 140 cm und 200 cm

4.3 Schiefe Verteilungen

Verteilungstyp	Merkmal	Relation
Linksschief (negativ schief)	Langer Schweif nach links; Gipfel rechts	Median > Mittelwert
Symmetrisch (normalverteilt)	Gleichmässige Glocke	Median ≈ Mittelwert
Rechtsschief (positiv schief)	Langer Schweif nach rechts; Gipfel links	Median < Mittelwert
Bimodal (zweigipfelig)	Zwei Häufungspunkte	Oft zwei vermischte Populationen

4.4 Test auf Normalverteilung

Bevor ein parametrischer Test (wie der t-Test) angewendet wird, muss geprüft werden, ob die Daten normalverteilt sind.

Shapiro-Wilk-Test (empfohlen für n < 50)

Der Shapiro-Wilk-Test prüft die Nullhypothese H₀: «Die Daten stammen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit.»

p-Wert	Interpretation	Konsequenz
p ≥ 0.05	H₀ wird nicht abgelehnt → Normalverteilung annehmbar	Parametrische Tests erlaubt (z.B. t-Test)
p < 0.05	H₀ wird abgelehnt → signifikante Abweichung von der Normalverteilung	Nicht-parametrische Tests verwenden (z.B. Mann-Whitney)

In R: shapiro.test(x) · In Python: scipy.stats.shapiro(x) · In Excel: Nicht eingebaut → Histogramm als visuelle Prüfung

5 · Signifikanz & Statistische Tests

5.1 Hypothesen und der p-Wert

Nullhypothese H₀ und Alternativhypothese H₁

H₀ (Nullhypothese): «Es gibt keinen Unterschied» / «Es gibt keinen Zusammenhang»
H₁ (Alternativhypothese): «Es gibt einen Unterschied» / «Es gibt einen Zusammenhang»

Der p-Wert Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, den beobachteten Unterschied (oder einen noch extremeren) zufällig zu erhalten, wenn die Nullhypothese wahr ist.

p-Wert	Interpretation	Entscheidung
p ≥ 0.05	Der Unterschied könnte gut durch Zufall entstanden sein	H₀ wird nicht abgelehnt → kein signifikanter Unterschied
p < 0.05	Ein solcher Unterschied ist durch Zufall sehr unwahrscheinlich (<5%)	H₀ wird abgelehnt → signifikanter Unterschied
p < 0.01	Noch unwahrscheinlicher (<1%)	Hochsignifikanter Unterschied
p < 0.001	Extrem unwahrscheinlich (<0.1%)	Höchstsignifikanter Unterschied

Wichtiger Hinweis: p < 0.05 bedeutet nicht, dass der Unterschied gross oder praktisch bedeutsam ist. Es bedeutet nur, dass er wahrscheinlich nicht zufällig ist. Immer auch die Effektgrösse (z.B. Cohens d) und das Vertrauensintervall berichten.

5.2 Der t-Test (Zwei-Stichproben-t-Test)

Wann anwenden? Zwei unabhängige Gruppen · Metrische Daten · Normalverteilung in beiden Gruppen

Fragestellung: «Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier Gruppen signifikant?»

t = (x̄₁ − x̄₂) / √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)

Je grösser |t|, desto unwahrscheinlicher ist H₀. Der zugehörige p-Wert wird anhand der t-Verteilung mit (n₁ + n₂ − 2) Freiheitsgraden berechnet.

In Excel: =T.TEST(Bereich1; Bereich2; 2; 2) (zweiseitig, zwei unabhängige Stichproben)

Creme-Beispiel: t-Test Creme 1 vs. Creme 4 → p = 0.003 → signifikanter Unterschied (p < 0.05)

5.3 Mann-Whitney U-Test

Wann anwenden? Zwei unabhängige Gruppen · Ordinale oder nicht-normalverteilte metrische Daten · Kein Normalverteilungstest bestanden

Fragestellung: «Kommen die Werte einer Gruppe systematisch aus einem höheren/niedrigeren Bereich als die der anderen?»

Vorgehen: Alle Werte beider Gruppen werden gemeinsam in Ränge (1, 2, 3, …) gebracht. Dann wird geprüft, ob eine Gruppe systematisch höhere Ränge hat.

Vorteil: Nicht-parametrisch – keine Normalverteilungsannahme. Robust gegenüber Ausreissern.

In R: wilcox.test(x, y) · In Python: scipy.stats.mannwhitneyu(x, y)

5.4 Chi²-Test (Chi-Quadrat-Test)

Wann anwenden? Nominale Daten · Vergleich von Häufigkeiten in Kategorien · Prüfung auf Zusammenhang zwischen zwei kategorialen Variablen

Fragestellung: «Gibt es einen statistischen Zusammenhang zwischen zwei nominalen Variablen?»

χ² = Σ [(beobachtet − erwartet)² / erwartet]

In Excel: =CHIQU.TEST(Beobachtungsbereich; Erwartungsbereich)

Beispiel: 60 Pflanzen, zwei Bedingungen (mit/ohne Dünger). Mit Dünger: 22 blühten, 8 nicht. Ohne Dünger: 14 blühten, 16 nicht. Chi²-Test → p = 0.04 → Dünger hat signifikanten Einfluss auf die Blührate.

5.5 Entscheidungsbaum

Situation	Test
2 Gruppen, metrische Daten, normalverteilt	t-Test (Zwei-Stichproben)
2 Gruppen, ordinale Daten	Mann-Whitney U-Test
2 Gruppen, metrische Daten, NICHT normalverteilt	Mann-Whitney U-Test
Häufigkeiten in nominalen Kategorien vergleichen	Chi²-Test
3+ Gruppen, metrisch, normalverteilt	ANOVA (nicht in diesem Kurs)

6 · Vertrauensintervall

6.1 Grundidee

Ein statistischer Test mit p < 0.05 sagt: «Es gibt wahrscheinlich einen Unterschied.» Das Vertrauensintervall (Konfidenzintervall, KI) beantwortet die ergänzende Frage: «Wie gross ist dieser Unterschied – und in welchem Bereich liegt der wahre Wert?»

Definition: 95%-Vertrauensintervall Würde man dasselbe Experiment 100 Mal wiederholen und jedes Mal ein 95%-KI berechnen, so würden 95 von 100 Intervallen den wahren Populationsparameter enthalten.

6.2 Formel für den Mittelwert

KI₉₅ = x̄ ± 1.96 · (s / √n)

Symbol	Bedeutung
x̄	Stichprobenmittelwert
1.96	Z-Wert für 95% Konfidenz (aus der Standardnormalverteilung)
s	Stichprobenstandardabweichung
n	Stichprobengrösse
s / √n	Standardfehler des Mittelwerts (SEM)

Für andere Konfidenzniveaus: 90% → 1.645 · SE; 99% → 2.576 · SE

Creme-Beispiel:
Creme 1: x̄ = 7.1, s = 1.2, n = 20
Standardfehler = 1.2 / √20 = 1.2 / 4.47 ≈ 0.268
Margin of Error = 1.96 × 0.268 ≈ 0.53
95%-KI = [7.1 − 0.53 ; 7.1 + 0.53] = [6.57 ; 7.63]

Interpretation: «Wir sind zu 95% sicher, dass der wahre mittlere Wert von Creme 1 in der Gesamtpopulation zwischen 6.57 und 7.63 liegt.»

6.3 Was beeinflusst die Breite des KI?

Grössere Stichprobe (↑ n): Schmaleres (präziseres) Intervall
Kleinere Streuung (↓ s): Schmaleres Intervall
Niedrigeres Konfidenzniveau (z.B. 90% statt 95%): Schmaleres Intervall, aber weniger sicher

Breite Vertrauensintervalle weisen auf eine unsichere Schätzung hin – oft wegen kleiner Stichproben. In solchen Fällen sollte die Stichprobengrösse erhöht werden, bevor Schlussfolgerungen gezogen werden.

7 · Formelsammlung

Grösse	Formel	Excel
Mittelwert	x̄ = Σxᵢ / n	`=AVERAGE()`
Median	Mittlerer sortierter Wert	`=MEDIAN()`
Modalwert	Häufigster Wert	`=MODE()`
Varianz (Stichprobe)	s² = Σ(xᵢ−x̄)² / (n−1)	`=VAR()`
Standardabweichung	s = √s²	`=STDEV()`
IQR	Q3 − Q1	`=QUARTILE(;3)−QUARTILE(;1)`
Standardfehler	SE = s / √n	`=STDEV()/SQRT(COUNT())`
95%-KI Untergrenze	x̄ − 1.96 · SE	`=AVERAGE()−1.96*SE`
95%-KI Obergrenze	x̄ + 1.96 · SE	`=AVERAGE()+1.96*SE`
t-Test (2 Gruppen)	t = (x̄₁−x̄₂) / √(s₁²/n₁+s₂²/n₂)	`=T.TEST(;; 2; 2)`
Chi²-Test	χ² = Σ[(O−E)²/E]	`=CHIQU.TEST()`

KSK Kreuzlingen · Naturwissenschaftliche Forschungswoche · Statistik-Kurs
Dieses Dokument begleitet die interaktive E-Learning-Einheit.

Statistik –Theoretischer Hintergrund

1 · Datentypen

1.1 Nominale Daten NOMINAL

1.2 Ordinale Daten ORDINAL

1.3 Metrische Daten METRISCH

1.4 Übersicht

2 · Lageparameter

2.1 Modalwert (Modus)

2.2 Median

2.3 Mittelwert (Arithmetisches Mittel)

2.4 Wann welchen Lageparameter verwenden?

3 · Streumasse

3.1 Standardabweichung (SD)

3.2 Varianz

3.3 Boxplot und Quartile

4 · Normalverteilung

4.1 Die Gauss'sche Glockenkurve

4.2 Die 68-95-99.7-Regel (Empirische Regel)

4.3 Schiefe Verteilungen

4.4 Test auf Normalverteilung

Shapiro-Wilk-Test (empfohlen für n < 50)

5 · Signifikanz & Statistische Tests

5.1 Hypothesen und der p-Wert

5.2 Der t-Test (Zwei-Stichproben-t-Test)

5.3 Mann-Whitney U-Test

5.4 Chi²-Test (Chi-Quadrat-Test)

5.5 Entscheidungsbaum

6 · Vertrauensintervall

6.1 Grundidee

6.2 Formel für den Mittelwert

6.3 Was beeinflusst die Breite des KI?

7 · Formelsammlung

Statistik –
Theoretischer Hintergrund