Willkommen zum Statistik-Kurs
In diesem Kurs werdet ihr statistische Methoden kennenlernen – und direkt auf eure eigene Forschungsfrage anwenden.
Jedes Modul endet mit einem Wissenscheck. Erst wenn ihr mindestens 80 % der Fragen richtig beantwortet habt, geht es weiter.
Unser roter Faden: Die Creme-Studie
Durch alle Module begleitet uns eine echte Frage: Wird Creme 1 von den Testpersonen besser bewertet als Creme 4?
20 Personen haben vier Cremes auf einer Skala von 1–9 bewertet. Diese Daten werden wir Schritt für Schritt analysieren.
| Person | Creme 1 | Creme 2 | Creme 3 | Creme 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 7 | 5 | 6 | 4 |
| 2 | 8 | 6 | 7 | 3 |
| 3 | 6 | 7 | 5 | 5 |
| 4 | 9 | 4 | 8 | 2 |
| 5 | 7 | 6 | 6 | 6 |
| … | … | … | … | … |
Skala: 1 = sehr schlecht, 9 = sehr gut. Alle 20 Messwerte findet ihr in eurem Excel-File.
Überblick: Was werden wir lernen?
Datentypen: Nominal, Ordinal, Metrisch
Bevor wir irgendetwas berechnen können, müssen wir wissen: Was für Daten haben wir überhaupt?
Warum ist das wichtig?
Nicht jede Messung ist gleich. Eine Postleitzahl ist zwar eine Zahl – aber es macht keinen Sinn, zwei Postleitzahlen zu addieren oder einen Durchschnitt zu berechnen. Den Unterschied zwischen Datentypen zu kennen, verhindert sinnlose Berechnungen.
Die drei Datentypen
Nominale Daten sind Etiketten. Man kann sie benennen und zählen – aber nicht in eine sinnvolle Reihenfolge bringen.
Beispiele: Blutgruppe (A, B, AB, 0) · Augenfarbe · Lieblingsfarbe · Geschlecht · Wohnort
Was kann man damit tun? Man kann die Häufigkeit jeder Kategorie zählen: «Wie viele Personen haben Blutgruppe A?» Das ist alles, was erlaubt ist.
Was geht nicht? Eine sinnvolle Reihenfolge bilden, rechnen oder Abstände bestimmen.
Ordinale Daten haben eine sinnvolle Reihenfolge – aber die Abstände zwischen den Werten sind nicht gleich gross oder messbar.
Beispiele: Schulnoten (1–6) · Zufriedenheitsskalen (sehr unzufrieden → sehr zufrieden) · T-Shirt-Grössen (S, M, L, XL) · Platzierungen bei Wettkämpfen
Was kann man damit tun? Vergleichen (grösser/kleiner), in eine Rangreihe bringen.
Was geht nicht? Abstände messen oder berechnen – weil die Abstände zwischen den Stufen nicht garantiert gleich gross sind.
Metrische Daten sind «echte» Zahlen: Die Abstände zwischen Werten sind definiert und gleich. Man darf mit ihnen rechnen.
Beispiele: Körpergrösse (cm) · Gewicht (kg) · Temperatur (°C) · Zeit (s) · pH-Wert
Was kann man damit tun? Alles – addieren, subtrahieren, dividieren, multiplizieren. Alle statistischen Masse sind erlaubt (welche das sind, lernst du in Modul 2 und 3).
Zusammenfassung
| Eigenschaft | Nominal | Ordinal | Metrisch |
|---|---|---|---|
| Kategorien benennbar | ✓ | ✓ | ✓ |
| Rangordnung möglich | ✗ | ✓ | ✓ |
| Abstände gleich gross | ✗ | ✗ | ✓ |
| Rechnen erlaubt | ✗ | ✗ | ✓ |
Übung: Daten einordnen
Klicke zuerst auf ein Variable (grauer Chip), dann auf die richtige Zone. Du kannst auch einen falsch platzierten Chip zurückklicken.
Nominal
Ordinal
Metrisch
Wissenscheck
1. Welcher Datentyp liegt vor, wenn Schülerinnen ihre Lieblingsfarbe angeben?
2. Die Bewertung einer Creme auf einer Skala von 1–9. Welcher Datentyp?
3. Die Körpergrösse von Schülerinnen in Zentimeter. Welcher Datentyp?
4. Welche der folgenden Variablen ist ordinal?
5. Welche Aussage über nominale Daten ist korrekt?
Lageparameter: Modalwert, Median & Mittelwert
Wie beschreibe ich einen ganzen Datensatz mit einer einzigen Zahl? Diese drei Masse geben verschiedene Antworten auf diese Frage.
Das Problem: Viele Zahlen, eine Aussage
Stell dir vor, du hast 20 Creme-Bewertungen: 7, 8, 6, 9, 7, 7, 5, 8, 6, 7, 9, 6, 8, 7, 5, 6, 8, 7, 9, 7. Wie erklärt man jemandem in einem Satz, wie die Creme bewertet wurde? Man braucht einen Lageparameter – eine Zahl, die die «Mitte» oder den «typischen Wert» der Daten beschreibt.
Der Modalwert (auch: Modus) ist einfach der Wert, der am häufigsten vorkommt.
→ Der Modalwert ist Blau, weil es am häufigsten genannt wurde.
Wann verwenden? Immer – auch bei nominalen Daten, wo kein anderes Lagemass erlaubt ist.
Vorteil: Sehr einfach zu bestimmen, kein Rechnen nötig, funktioniert bei allen Datentypen.
Nachteil: Sagt nichts über die Verteilung der anderen Werte aus. Es kann auch mehrere Modi geben.
Der Median ist der Wert, der genau in der Mitte liegt, wenn man alle Werte der Grösse nach sortiert. Die Hälfte der Werte liegt darunter, die andere Hälfte darüber.
Unsortiert:
7, 3, 9, 5, 6, 4, 8Sortiert:
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9→ Der 4. Wert (von 7) steht in der Mitte: Median = 6
Bei 8 Werten gibt es zwei mittlere Werte – man nimmt deren Durchschnitt:
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → Median = (6+7)/2 = 6.5
Wann verwenden? Bei ordinalen und metrischen Daten – besonders wenn Ausreisser (extreme Werte) vorhanden sind.
Stärke des Medians: Er ist robust gegenüber Ausreissern. Ein extremer Wert kann den Median kaum verändern.
Den Mittelwert (auch: Durchschnitt, arithmetisches Mittel, x̄ «x-quer») kennt ihr alle: alle Werte addieren, durch die Anzahl der Werte dividieren.
Beispiel: Werte:
2, 4, 6, 6, 8, 8, 8x̄ = (2+4+6+6+8+8+8) / 7 = 42 / 7 = 6.0
Wann verwenden? Nur bei metrischen Daten – und nur wenn keine starken Ausreisser vorhanden sind.
Schwäche: Der Mittelwert reagiert sehr empfindlich auf Ausreisser.
Der Bill-Gates-Effekt: Wenn der Mittelwert lügt
Stell dir eine Bar mit 10 Stammgästen vor. Das durchschnittliche Einkommen beträgt 50 000 CHF/Jahr. Dann kommt Bill Gates (Vermögen: Milliarden) herein. Plötzlich steigt das «Durchschnittseinkommen» der Bar auf mehrere Millionen – obwohl alle anderen Gäste genau gleich viel verdienen wie vorher.
Interaktiv: Der Ausreisser-Effekt
Verschiebe den roten Punkt und beobachte, wie sich die drei Lageparameter verändern. Was passiert mit dem Mittelwert, wenn der Ausreisser sehr gross wird?
Übung: Schritt für Schritt berechnen
Berechnet die drei Lageparameter für diesen kleinen Datensatz: 2, 4, 8, 8, 6, 8, 6
Wir haben 7 Werte (n = 7).
Modalwert = 8
Sortiert: 2, 4, 6, [6], 8, 8, 8
Median = 6
Hier sind Modalwert (8), Median (6) und Mittelwert (6) alle unterschiedlich – interessant!
Sortiert: 2, 4, 6, [6], 8, 8, 80
Median = 6 (unverändert!)
x̄ = (2+4+6+6+8+8+80) / 7 = 114 / 7 ≈ 16.3 (stark verändert!)
Wissenscheck
1. Welches Lagemass ist bei nominalen Daten (z.B. Augenfarbe) erlaubt?
2. Datensatz: 3, 7, 7, 9, 11, 11, 11, 15. Was ist der Modalwert?
3. Datensatz: 1, 3, 5, 7, 9, 11. Was ist der Median?
4. Ein Ausreisser (sehr extremer Wert) beeinflusst hauptsächlich welches Lagemass stark?
5. Welches Lagemass ist am besten geeignet für das «typische» Gehalt in einer Firma, in der die meisten Mitarbeitenden 60 000–80 000 CHF verdienen, aber die CEO 5 000 000 CHF?
Streumasse: Standardabweichung & Boxplot
Ein Lageparameter sagt, wo die Daten «liegen». Ein Streumass sagt, wie stark sie streuen – wie verschieden sie voneinander sind.
Warum brauchen wir Streumasse?
Kurs A: 5, 5, 5, 5, 5, 5 → Mittelwert = 5
Kurs B: 1, 3, 5, 5, 7, 9 → Mittelwert = 5
Beide Kurse haben denselben Durchschnitt – aber Kurs A ist extrem einheitlich, Kurs B sehr vielfältig. Ohne Streumass würden wir diesen wichtigen Unterschied verpassen!
Die Standardabweichung: Die Dusche-Analogie
Stell dir vor, du duschst täglich und misst jeden Tag die Wassertemperatur. Manchmal ist sie etwas zu warm, manchmal etwas zu kalt:
Was bedeutet die Formel?
Die Standardabweichung misst, wie weit die einzelnen Werte im Durchschnitt vom Mittelwert entfernt sind.
Datensatz: 2, 4, 6, 6, 8, 8, 8 | Mittelwert x̄ = 6
| Wert (x) | Abstand zum Mittelwert (x − x̄) | Quadrat (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 2 | 2 − 6 = −4 | (−4)² = 16 |
| 4 | 4 − 6 = −2 | (−2)² = 4 |
| 6 | 6 − 6 = 0 | 0² = 0 |
| 6 | 6 − 6 = 0 | 0² = 0 |
| 8 | 8 − 6 = 2 | 2² = 4 |
| 8 | 8 − 6 = 2 | 2² = 4 |
| 8 | 8 − 6 = 2 | 2² = 4 |
Varianz = 32 / (7−1) = 32 / 6 ≈ 5.33
Standardabweichung = √5.33 ≈ 2.31
Wir teilen durch (n−1) und nicht durch n, weil wir eine Stichprobe analysieren (Stichprobenstandardabweichung). In Excel: =STABW()
Der Boxplot: Fünf Zahlen, ein Bild
Ein Boxplot fasst die Verteilung eines Datensatzes mit fünf Kennzahlen zusammen. Aber zuerst müssen wir einen Begriff erklären:
Das p-te Perzentil ist der Wert, unter dem p% aller Messwerte liegen.
Beispiel: Das 25. Perzentil (= 1. Quartil) ist der Wert, unter dem 25% der Daten liegen. Das 75. Perzentil ist der Wert, unter dem 75% der Daten liegen.
Der Median ist übrigens das 50. Perzentil – genau die Hälfte der Werte liegt darunter.
| Kennzahl | Bedeutung |
|---|---|
| Minimum | Kleinster Wert (ohne Ausreisser) |
| Q1 (1. Quartil, 25. Perzentil) | 25% der Werte liegen darunter |
| Median (Q2, 50. Perzentil) | 50% der Werte liegen darunter |
| Q3 (3. Quartil, 75. Perzentil) | 75% der Werte liegen darunter |
| Maximum | Grösster Wert (ohne Ausreisser) |
IQR (Interquartilsabstand) = Q3 − Q1: Der Bereich, in dem die mittleren 50% der Daten liegen. Werte, die mehr als 1.5 × IQR über Q3 oder unter Q1 liegen, gelten als Ausreisser und werden als Punkte separat dargestellt.
Welches Mass für welche Daten?
Jetzt kennt ihr alle Lage- und Streumasse. Hier die vollständige Übersicht, welches Mass wann erlaubt ist:
| Datentyp | Lageparameter | Streumass |
|---|---|---|
| Nominal | Modalwert | Keine sinnvollen Streumasse |
| Ordinal | Modalwert, Median | Bandbreite (Min–Max), Boxplot (Q1–Q3) |
| Metrisch | Modalwert, Median, Mittelwert | Alle: Standardabweichung, Varianz, Boxplot |
Wissenscheck
1. Was misst die Standardabweichung?
2. Welche der folgenden Standardabweichungen zeigt eine grössere Streuung?
3. Was ist das erste Quartil (Q1) eines Datensatzes?
4. Für welche Daten ist die Standardabweichung ein erlaubtes Streumass?
5. Der IQR (Interquartilsabstand) wird berechnet als…
Normalverteilung: Die Glockenkurve
Viele natürliche Messungen folgen einem typischen Muster – der Normalverteilung. Warum das wichtig ist, und wie wir es testen, lernt ihr hier.
Was ist die Normalverteilung?
Wenn man viele Menschen misst (z.B. Körpergrösse), findet man meist: Die meisten Werte liegen um die Mitte, und je extremer der Wert, desto seltener tritt er auf. Diese symmetrische «Glockenkurve» nennt man Normalverteilung.
Symmetrisch vs. schief verteilt
Nicht alle Daten sind normalverteilt. Es gibt auch schiefe Verteilungen:
Warum müssen wir auf Normalverteilung prüfen?
Viele statistische Tests (z.B. der t-Test) setzen voraus, dass die Daten normalverteilt sind. Wenn diese Voraussetzung verletzt ist, können die Testergebnisse falsch sein – und man muss auf andere Tests ausweichen.
Der Shapiro-Wilk-Test
Der Shapiro-Wilk-Test ist der gebräuchlichste Test auf Normalverteilung für kleine Stichproben (n < 50). Er berechnet einen p-Wert:
Kein signifikanter Unterschied zur Normalverteilung → Daten können als normalverteilt angenommen werden. ✓
Signifikante Abweichung von der Normalverteilung → Daten sind nicht normalverteilt. ✗
Den p-Wert werden wir im nächsten Modul ausführlich erklären. Hier reicht die Daumenregel: p ≥ 0.05 = normalverteilt.
Normalverteilung in Excel prüfen
In der Excel-Vorlage zu dieser Forschungswoche findet ihr bereits einen Shapiro-Wilk-Test. Die Schritte im Überblick:
- Öffnet das Excel-File mit den Creme-Daten.
- Auf dem Blatt «Normalverteilung» seht ihr für jede Creme den Shapiro-Wilk p-Wert.
- Grüne Felder (p ≥ 0.05): normalverteilt. Rote Felder (p < 0.05): nicht normalverteilt.
- Diese Information braucht ihr im nächsten Modul, um den richtigen Test zu wählen.
Wissenscheck
1. Was beschreibt die «Normalverteilung»?
2. Shapiro-Wilk-Test ergibt p = 0.32. Was bedeutet das?
3. Bei einer rechtsschiefen Verteilung gilt:
4. Warum ist es wichtig, vor einem statistischen Test auf Normalverteilung zu prüfen?
Signifikanz & statistische Tests
Ist der Unterschied zwischen zwei Gruppen «echt» – oder nur Zufall? Die Antwort liegt im p-Wert.
Was heisst «statistisch signifikant»?
Wir vergleichen zwei Gruppen – z.B. die Bewertungen von Creme 1 und Creme 4. Creme 1 hat vielleicht einen höheren Mittelwert. Aber: Könnte dieser Unterschied auch durch Zufall entstanden sein, wenn in Wirklichkeit kein Unterschied besteht?
Diese Wahrscheinlichkeit ist der p-Wert.
Der beobachtete Unterschied könnte gut durch Zufall entstanden sein. Kein signifikanter Unterschied nachgewiesen.
Ein solcher Unterschied durch Zufall ist sehr unwahrscheinlich (<5%). Signifikanter Unterschied gefunden.
Den richtigen Test wählen
Welcher Test hängt davon ab: (1) Wie viele Gruppen vergleicht ihr? (2) Sind die Daten normalverteilt? (3) Welcher Datentyp?
Excel: T.TEST() oder Datenanalyse-Werkzeug
Nicht-parametrisch, funktioniert ohne Normalverteilung
Beispiel: Gibt es einen Zusammenhang zwischen Geschlecht und Lieblingsfarbe?
Die drei Tests im Detail
Wann: Zwei Gruppen vergleichen, metrische Daten, normalverteilt
Fragestellung: «Haben Creme 1 und Creme 4 signifikant unterschiedliche Mittelwerte?»
In Excel: Daten → Datenanalyse → t-Test: Zwei Stichproben, Varianzen unbekannt
Oder: =T.TEST(Bereich1; Bereich2; 2; 2)
Wann: Zwei Gruppen vergleichen, ordinale oder nicht-normalverteilte metrische Daten
Fragestellung: «Unterscheiden sich die Bewertungen (Ränge) von Creme 1 und Creme 4?»
Ablauf: Alle Werte beider Gruppen werden gemeinsam in Ränge gebracht. Dann wird verglichen, ob eine Gruppe systematisch höhere Ränge hat.
In Excel: Erfordert ein Zusatz-Makro oder Handberechnung (in eurer Excel-Vorlage bereits vorbereitet).
Wann: Nominale Daten, Häufigkeiten in Kategorien vergleichen
Fragestellung: «Gibt es einen Zusammenhang zwischen zwei nominalen Variablen?»
In Excel: =CHIQU.TEST(Beobachtungsbereich; Erwartungsbereich)
Anwendung auf die Creme-Studie
Vertrauensintervall (Konfidenzintervall)
Ein p-Wert sagt: «Gibt es einen Unterschied?» Das Vertrauensintervall sagt: «Wie gross ist dieser Unterschied – und wie sicher sind wir?»
Stellt euch vor, ihr wiederholt dasselbe Experiment 100 Mal und berechnet jedes Mal ein 95%-Vertrauensintervall. Dann werden 95 von 100 Intervallen den wahren Populationswert enthalten – und 5 werden daneben liegen (das unvermeidliche Restrisiko).
Jede Linie = ein Vertrauensintervall. Punkt = geschätzter Mittelwert. Grün trifft den wahren Wert, Rot verfehlt ihn.
Das 95%-Vertrauensintervall für den Mittelwert einer normalverteilten Stichprobe:
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
x̄ | Mittelwert der Stichprobe |
1.96 | Kritischer Wert für 95% Sicherheit (kommt aus der Normalverteilung) |
SD | Standardabweichung der Stichprobe |
n | Stichprobengrösse |
SD / √n | Standardfehler: wie genau ist unser Mittelwert? |
Standardfehler = 1.2 / √20 = 1.2 / 4.47 ≈ 0.27
95%-Vertrauensintervall = 7.1 ± 1.96 · 0.27 = 7.1 ± 0.53
→ [6.57 ; 7.63]
Interpretation: «Wir sind zu 95% sicher, dass der wahre mittlere Creme-1-Wert der Gesamtpopulation zwischen 6.57 und 7.63 liegt.»
- Grosse Stichprobe (↑ n)
- Kleine Streuung (↓ SD)
- Niedrigeres Konfidenzniveau (z.B. 90% statt 95%)
- Kleine Stichprobe (↓ n)
- Grosse Streuung (↑ SD)
- Höheres Konfidenzniveau (z.B. 99% statt 95%)
Wissenscheck
1. Was bedeutet ein p-Wert von 0.03?
2. Zwei Gruppen werden verglichen. Die Daten sind metrisch und normalverteilt. Welcher Test ist angemessen?
3. Die Daten sind ordinal und nicht normalverteilt. Zwei Gruppen sollen verglichen werden. Welcher Test?
4. p-Wert = 0.001. Was kann man sagen?
5. Für welche Fragestellung ist der Chi²-Test geeignet?
Mein Forschungsprojekt
Jetzt wendet ihr alles an, was ihr gelernt habt – auf eure eigenen Daten.
Schritt 1: Euer Projekt beschreiben
Schritt 2: Analyse-Checkliste
Hakt die Punkte ab, wenn ihr sie in Excel erledigt habt:
Schritt 3: Ergebnis formulieren
«[Variable A] und [Variable B] unterscheiden sich [signifikant / nicht signifikant] voneinander ([Testname], p = [Wert]).»
Beispiel: «Creme 1 und Creme 4 unterscheiden sich signifikant in ihren Bewertungen (Mann-Whitney U-Test, p = 0.003). Creme 1 erhält deutlich höhere Bewertungen (Median = 7) als Creme 4 (Median = 4).»
Ihr habt alle 6 Module der Statistik-Werkzeugkiste absolviert! Ihr könnt jetzt:
- Daten als nominal, ordinal oder metrisch klassifizieren
- Lageparameter und Streumasse berechnen und interpretieren
- Normalverteilung testen
- Den richtigen statistischen Test wählen und p-Werte interpretieren
- Eure eigene Forschungsfrage statistisch beantworten